Objectifs du cours
L’objectif de ce cours est d’introduire les principales notions de finances et calcul stochastique
pour comprendre et savoir utiliser des modelés financières stochastiques.
Structure du cours
Introduction
1) Les marchés financiers et les actifs (actions, obligations). Les marchés des produits dérivés,
options, call, put (européens ou américains).
2) Les types d’agents économiques et les différentes stratégies. Evaluation des dérivés financiers.
Prix correct. Arbitrage.
Modèles de marché en temps discret
1) Modélisation probabiliste d’un marché financier. Les hypothèses implicites. Portefeuilles
autofinancés, valeurs actualisées. Probabilité risque-neutre. Pricing des options. Modèle Binomial.
Calcul stochastique
1) Mouvement brownien. Historique. Caractérisation comme processus continu à accroissements
indépendants et stationnaires. Caractérisation comme martingale continue de variation
quadratique. Théorème de Paul Lévy.
2) Intégrale de Itô (construction et propriétés) comparaison avec l’intégrale de Stratonovich.
Théorème de représentation de Itô.
3) Espérance conditionnelle, martingale.
4) Calcul différentiel généralisé (processus continus). Notion générale de forme différentielle
(processus déterministes ou probabilistes). Formule de Itô, produit de Itô.
5) Equations différentielles stochastiques, solutions faibles et fortes.
6) Processus de diffusion. Propriétés markoviennes, générateur infinitésimal comme opérateur
différentiel.
Modèles de marché en temps continu
1) Généralisation au temps continu des modèles de marché vus en temps discret. Prix des actifs
comme semi martingales. Remplacement des sommes par des intégrales stochastiques.
Portefeuilles autofinancés, caractérisation. On admettra que les principaux théorèmes démontrés
en temps discret sont encore valides dans le langage du temps continu (notamment ceux
concernant les probabilités risque-neutre).
2) Model de Black and Scholes. Hypothèses sur les rendements des actifs: processus continus à
accroissements indépendants et stationnaires. Volatilité, tendance. Déterminations des prix des
actifs. Existence d’une unique probabilité risque-neutre. Formule de Black and Scholes.
Approximation par le modèle de Cox-Ross-Rubinstein.
3) Généralisation par des modèles de processus de diffusion.
Prérequis
Cours de Probabilités GM3.
Organisation, méthodes pédagogiques
Cours magistral (15h) - séances de TD (15h)
Bibliographie
L.C. Evans “An Introduction to Stochastic Differential Equations”
N.El Karoui, E. Gobet “Les outils stochastique des marchés financiers”
J. Hull “Options, futures et autres actifs dérivés“
- Enseignant: Ciotir Ioana