Le cours s’articule autour de 3 chapitres :
Méthodes directes pour les systèmes linéaires : Après quelques rappels d’algèbre linéaire (déterminant, formule de Cramer, norme de matrices, conditionnement), on présente les méthodes de factorisation LU (et la méthode d’élimination de Gauss), la méthode de Cholesky et la factorisation QR via l’orthogonalisation de Gram-Schmidt et la méthode de HouseHolder. On présente également comment la factorisation QR permet de résoudre des problèmes de moindres carrés.
Méthodes itératives : Dans ce second chapitre, on commence par quelques éléments de théorie spectrale (notion de valeurs propres vecteurs propres, matrices diagonalisable et CNS pour les matrices diagonalisables dans une base de vecteurs propres orthonormaux, puissance de matrice). On présente ensuite les méthodes itératives “historiques” (méthodes de splitting : Jacobi, Gauss-Seidel et descente de gradient). Enfin, dans la dernière partie, on présente deux méthodes modernes (méthodes de Krylov) : GMRES et le gradient conjugué et une brève introduction au préconditionnement.
Les problèmes aux valeurs propres : Le but ici est de présenter des méthodes de résolution de problèmes aux valeurs propres. Dans une première partie, on présente les méthodes de type puissance itérées (puissance inverse, translation d’opérateur, déflation), puis dans une seconde partie, des méthodes par transformations semblables (la méthode QR, la méthode de Krylov). On présente également, brièvement la SVD et son intérêt.
Modalités d'évaluation : 1 IS (1h ou 1h30 selon possibilités), CC (2 TP), 1 DS (3h)
- Enseignant: Forcadel Nicolas
- Enseignant: Kazakova Maria
- Enseignant: Tonnoir Antoine