Ce cours présente les outils mathématiques pour la modélisation des signaux déterministes et leur traitement en continu et en discret. Le programme détaillé est le suivant:
Séries de Fourier. Fonctions périodiques, approximation par polynômes trigonométriques ; coefficients et série de Fourier / Lemme de Riemann-Lebesgue et inégalité de Bessel / Théorème de convergence ponctuelle de Dirichlet, convergence uniforme et phénomène de Gibbs, convergence en moyenne et identité de Parseval.
Applications à l'acoustique. Problème de la corde vibrante : solution de d'Alembert, méthode de séparation de variables et solution de Fourier, spectre harmonique / Généralisation aux membranes vibrantes: modes vibratoires, fonctions de Bessel, figures de Chladni / Modulation de fréquence et synthèse du son.
Transformée de Fourier. Définition et théorème d'inversion pour fonctions sommables ; spectre d'un signal non-périodique / Composition avec les opérateurs linéaires: translation temporelle et fréquentielle, dilatation et réflexion, convolution, dérivation / Généralisation aux fonctions de carré sommable: classe de Schwartz, fonctions à croissance polynomiale, identité de Plancharel, formule d'inversion / Exemples notables: la fonction gaussienne, la fonction porte et la fonction sinus cardinal.
Théorie des distributions tempérées. Définition et notion de convergence, identités adjointes et définitions d'opérations pour les distributions / Exemples notables : fonction de Heavside, delta de Dirac, distributions représentées / Transformée de Fourier pour les distributions.
Passage au discret. Filtrage fréquentiel, débruitage par filtre moyenneur / Formule de Poisson et peigne de Dirac, transformée de Fourier de fonctions périodiques et de peignes de Dirac / Fonctions à bande limitée et théorème d'échantillonnage de Shannon, phénomène de repliement spectral / Traitement de signaux finis: transformée de Fourier discrète et algorithme de la transformée de Fourier rapide.
- Enseignant: NARDI Giacomo