Dans ce cours on introduit les outils mathématiques nécessaires pour suivre la formation en analyse, analyse numérique, équations aux dérivées partielles, probabilités (processus stochastiques) proposée aux élèves-ingénieurs de GM dans les semestres à suivre. Il s’agit d’introduire les notions fondamentales des espaces de fonctions de dimension infinie, la notion de «fonction généralisée» en donnant des exemples d’utilisation.
Le cours se compose de six parties:
Espaces normés : Dans ce premier chapitre les notions de norme et d’espaces normés sont introduites. Après avoir donné des exemples en dimension finie et infinie, on introduit une topologie sur ces espaces. Nous introduisons également la notion d’applications linéaires continues (définition, propriétés, dualité, formes bilinéaires continues)
Espaces de Banach : Nous introduisons dans ce chapitre la notion d’espace complet qui joue un rôle essentiel en analyse. Les propriétés des applications linéaires dans les espaces de Banach seront ensuite considérées. Ce chapitre se clos sur une démonstration du théorème fondamental du point fixe de Picard.
Espaces de Hilbert : On commence par introduire la notion de produit scalaire et d’espace de Hilbert. On se concentrera sur les propriétés spécifiques aux espaces de Hilbert: théorème de projection orthogonale et existence d’un base hilbertienne. Un résultat fondamental de ce chapitre est le théorème de représentation de Riesz qui permet d'établir une propriété importante sur le dual d'un espace de Hilbert.
Espaces Lp : Ce chapitre est essentiellement consacré aux espaces Lp, leur construction et leurs propriétés. On étudie d’abord la complétude des espaces Lp, et on introduira ensuite la notion de produit de convolution et on étudiera ses propriétés.
Distributions : Ce chapitre est une introduction à la théorie des distributions, qui joue un rôle incontournable dans l’analyse moderne des équations aux dérivées partielles. Après avoir donné quelques exemples présentant l’intérêt de cette théorie, on se consacrera aux propriétés et aux opérations sur les distributions. On donnera une attention particulière à la notion de convergence au sens des distributions, dérivation des distributions et produit de convolution.
Transformation Fourier : Ce cours se finit par l'étude de la transformation de Fourier des fonctions intégrables. On s’intéresse ensuite aux espaces de fonctions à décroissance rapide, pour étendre la définition de transformées de Fourier sur ces espaces et étudier ses propriétés. Les espaces des distributions tempérées et les notions de dérivation et convergence dans ces espaces seront étudiées.
- Enseignant: Forcadel Nicolas